Prozentrechner online
Was bedeutet überhaupt 100 %?
Du hast sicherlich schon häufiger den Satz gehört: „Wir müssen jetzt 100 % geben!“. Gemeint ist hiermit, dass jeder alles geben und sich richtig anstrengen soll. Dies gibt die mathematische Bedeutung von 100 % perfekt wieder. 100 % ist „alles“!
Wenn Du einen Kuchen hast, von dem noch kein Stück weggenommen wurde, hast Du 100 % Kuchen. Und wenn Du am Monatsanfang Dein Taschengeld erhältst und davon noch nichts gekauft hast, hast Du noch 100 % Taschengeld. Sobald Du etwas hiervon wegnimmst, hast Du weniger. Mit der Prozentrechnung berechnest Du dieses „weniger“ ganz genau.
Das Wort „Prozent“ und seine Bedeutung
Der Begriff „Prozent“ stammt vom lateinischen „pro centum“, was übersetzt „von Hundert“ heißt. Was auch immer Du mit der Prozentrechnung untersuchst, stelle Dir einfach vor, dass Du dieses Objekt in 100 Stücke teilst. Dies ist bei einem Kuchen vorstellbar, den Du in 100 kleine Stücke schneidest. Oder Du bekommst 25 € Taschengeld im Monat. Dann kannst Du auch dieses in 100 gleich große Stücke aufteilen, die 25 ct wert sind. Schließlich ist 100 × 25 ct = 25 €.
Was haben Prozente mit Bruchzahlen zu tun?
Wann immer Du mit Prozenten rechnest, kannst Du auch mit Brüchen rechnen. Du magst Bruchrechnung nicht? Keine Sorge, es ist einfacher, als es aussieht. Jedes der oben beschriebenen Stücke ist ein Hundertstel des Kuchens. Jedes dieser Stücke stellt deshalb 1 % dar. Wenn Du drei von den 100 Kuchenstücken nimmst, hast Du 3 % des Kuchens. Und wenn Du alle 100 Stücke nimmst, hast Du wieder den gesamten Kuchen und somit 100 %.
Hälfte, Drittel, Viertel in Prozent
Es gibt einige wichtige Brüche, die Du Dir mit ihren Prozentzahlen merken solltest. Stelle Dir hierfür wieder den Kuchen vor. Stelle Dir vor, Du schneidest einen Kuchen in zwei Hälften. Jede dieser Hälften besteht dann aus 50 kleinen Einzelstücken, wenn Du ihn wie oben beschrieben in insgesamt 100 Stücke geschnitten hättest. Die Hälfte ist deshalb 50 % des Kuchens. Die Hälfte wird als Bruchzahl durch 1⁄2 ausgedrückt, deshalb kannst Du auch rechnen.
100 × 1/2 = 50
(Der gesamte Kuchen (100 %) wird durch zwei geteilt (mit 1/2 mal genommen) und Du erhältst 50).
Dies kannst Du auch mit anderen Brüchen machen, wenn Du den Kuchen in drei, vier oder fünf gleich große Stücke schneidest:
100 × 1/3 = 33,33333...
100 × 1/4 = 25
100 × 1/5 = 20
Ein Fünftel des Kuchens sind also 20 % des Kuchens, ein Viertel des Kuchens sind 25 %. Und wie viel ist ein Zehntel des Kuchens? Ganz genau: 10 %.
Etwas Theorie: Die mathematischen Grundbegriffe
Damit Du die Prozentrechnung auch mathematisch sauber beherrschst, führen wir jetzt die drei wichtigsten mathematischen Begriffe ein. Diese verstehst Du ganz einfach, wenn Du Dir immer den Kuchen vorstellst. Merke Dir trotzdem diese drei Begriffe für Schulaufgaben und Klassenarbeiten genau.
Grundwert (G)
Der Grundwert oder auch Ausgangswert ist die Zahl, mit der Du startest. Dies kann zum Beispiel 1,0 Kuchen sein. Oder die 25 € aus unserem Beispiel mit dem Taschengeld.
Prozentsatz (P)
Der Prozentsatz ist die Zahl, die vor dem Prozentzeichen (%) steht. Wenn Du zwei Kuchen hast und wissen möchtest, wie viel 25 % von 1,0 Kuchen sind, dann ist die 25 der Prozentsatz und 1,0 der Grundwert.
Prozentwert (W)
Der Prozentwert ist das Ergebnis, dass Du bei der Berechnung eines Prozentsatzes von einem Grundwert erhältst. Du weißt jetzt schon, dass 25 % × 1,0 = 0,25 (oder ein Viertel) sind. Dieses Ergebnis, die 0,25, ist der Prozentwert.
So funktioniert die Prozentwert-Formel
Bislang haben wir immer mit einem Kuchen und 100 % gerechnet. Doch was ist, wenn Du mit einem anderen Grundwert startest, wie den 25 € Taschengeld? In diesem Fall müssen wir mathematisch die 25 € in 100 gleich große Teile aufteilen, die jeweils 1,0 Prozent wert sind. Oben haben wir Dir schon gezeigt, dass sich die 25 € in 100 Teile von jeweils 25 ct aufteilen lassen. Mathematisch verwenden wir hierfür die einzige Formel, die Du Dir rund um die Prozentrechnung merken musst:
100 × W = G × P
Merke Dir die Formel einfach so: „Wenn Du 100 Worte sprichst, benötigst Du danach eine große Pause (zum Atmen)“.
Wenn Du beide Seiten dieser Gleichung durch 100 teilst, erhältst Du die genaue Formel für den Prozentwert (W):
W = G × P / 100
Wir testen Sie einmal mit der Frage „Wie viel sind 40 % Deines monatlichen Taschengeldes von 25 €?”. Der Grundwert G ist 25 €, der Prozentsatz P ist 40. Deshalb lautet die Formel:
100 × W = 25 € × 40.
Hieraus folgt:
100 × W = 1000 €, geteilt durch 100 erhältst Du
W = 10 €.
Jetzt weißt Du, dass 40 Prozent von 25 € 10 € sind.
So rechnest Du mit der Prozentsatz-Formel
Nicht immer ist der Prozentwert gefragt, sondern der Prozentsatz. Du bekommst in unserem Taschengeld-Beispiel zwei Eurobeträge genannt und sollst sagen, wie viel Prozent der eine Betrag vom anderen ist. Dies ist gar kein Problem, wenn Du die Formel 100 × W = G × P verwendest und nach P auflöst. Hierfür musst Du beide Seiten der Gleichungen durch G teilen und Du erhältst die Formel:
P = 100 × W / G
Auch diese Formel testen wir mit einem Beispiel. Unsere Frage lautet: „Wenn Du noch 20,00 € von Deinen 25,00 € Taschengeld hast, wie viel Prozent hast Du dann noch?“. In die Formel eingesetzt, heißt dies:
P = 100 × 20,00 € / 25,00 €.
In diesem Fall hast Du hinten den Bruch 20/25 stehen, den man zu 4⁄5 kürzen kann. Die Rechnung ist also:
P = 100 × 4/5 = 400/5 = 80.
Jetzt weißt Du: 20,00 € sind 80 % von 25,00 €.
Prozentrechnung – einige Beispiele für Dich
Beispiel 1: Was sind 40 Prozent von 120?
Wir suchen den Prozentwert (W) und rechnen W = G × P / 100
W = 120 × 40 / 100
W = 4800 / 100
W = 48.
Beispiel 2: Wie viel sind 50 von 300 in Prozent?
Hierfür suchen wir den Prozentsatz P = 100 × W / G
P = 100 × 50 / 300
P = 100 × 5 / 30
P = 100 × 1 / 6
P = 16,66666...
Der Prozentwert ist also 16,666 %. Als Bruch ist dies übrigens ein Sechstel, wie Du gut bei der Berechnung erkennen kannst.
Beispiel 3: Wie viel ist 200 € plus oder minus 15 Prozent?
Bei dieser Aufgabe müssen wir natürlich erst einmal wissen, wie viel überhaupt 15 % von 200 sind. Das Ergebnis können wir dann per Addition oder Subtraktion verrechnen. Wir nutzen die Formel aus Beispiel 1:
W = 200 € × 15 / 100
W = 3000 € / 100
W = 30 €
Jetzt wissen wir, dass 15 % einen Wert von 30 € haben. Zur Lösung der Aufgabe müssen wir diese nur noch auf unseren Grundwert aufaddieren oder von diesem abziehen. Konkret:
Aufaddieren: 200 € + 30 € = 230 €. Abziehen: 200 € – 30 € = 170 €. Eine kleine Eselsbrücke für den Alltag.
Wir haben noch einen kleinen Trick für Dich, wie Du rasch und einfach den Prozentwert ausrechnen kannst, wenn Du das kleine Einmaleins gut beherrschst. Wie Dir vielleicht aufgefallen ist, gibt es bei der Formel der Prozentrechnung nur Punktrechnung, also Multiplikation und Division. Wir dürfen deshalb bei der Berechnung die Faktoren in beliebiger Reihenfolge miteinander verrechnen.
Konkret heißt dies: Du musst nicht erst GP berechnen und dann durch 100 teilen. Du kannst den Bruch GP/100 auch aufteilen in G/10 × P/10. In diesem Fall rechnest Du mit deutlich kleineren Zahlen.
Hierzu einige Beispiele:
Was sind 80 % von 20? Teile einfach beide Werte durch 10 und nehmen Sie miteinander mal. 8 × 2 = 16.
Was sind 20 % von 80? Hier passiert genau das Gleiche, Du rechnest 2 × 8 = 16.
Was sind 35 % von 50? Dies ist etwas schwieriger, weil du bei Division durch 10 nun 3,5 × 5 rechnen musst. Das Ergebnis bekommst Du trotzdem schnell heraus: 17,5.
Das Schwierigste zum Schluss: Berechne den Ausgangswert!
In den meisten Fällen wirst Du, entweder den Prozentwert oder den Prozentsatz berechnen müssen. Natürlich geht es auch, den Grundwert (G) mit unserer Formel zu berechnen. Eine Frage hierfür wäre beispielsweise: „Wenn 25 % Deines Taschengeldes 5,00 € sind, wie viel ist dann Dein gesamtes Taschengeld (also die vollen 100 %)?“
Um dies zu berechnen, stellen wir unsere bekannte Formel 100 × W = G × P nach G um. Dies bedeutet als Formel für den Grundwert:
G = 100 × W / P
Konkret in unserem Beispiel heißt dies:
G = 100 × 5 € / 25
G = 500 € / 25
G = 20 €
Wenn 25 % Deines Taschengeldes 5,00 € sind, ist 20,00 € Dein gesamtes Taschengeld. Vielleicht hast Du schon erkannt, dass mit 25 % nach dem Viertel Deines Taschengeldes gefragt wurde. Um von einem Viertel auf das Ganze zu schließen, musst Du einfach mit vier Mal nehmen. Und auch 5 € × 4 = 20 € hätte Dich zum Ergebnis gebracht.
Häufige Fragen
Ein Prozent ist ein Hundertstel. Das Symbol für Prozent ist „%“. Zum Beispiel entspricht 1% genau \( \frac{1}{100} \) oder 0,01.
Um \( x\% \) von einer Zahl \( y \) zu finden, multipliziert man \( y \) mit \( \frac{x}{100} \).
Um eine Zahl \( y \) um \( x\% \) zu erhöhen, multipliziert man \( y \) mit \( 1 + \frac{x}{100} \).
Um eine Zahl \( y \) um \( x\% \) zu verringern, multipliziert man \( y \) mit \( 1 – \frac{x}{100} \).
Um den Prozentsatz von \( x \) bezogen auf \( y \) zu finden, teilt man \( x \) durch \( y \) und multipliziert das Ergebnis mit 100: \( \frac{x}{y} \times 100\% \).
Wenn etwas um 100 % erhöht wird, verdoppelt es sich.
Ein prozentualer Anstieg bezieht sich auf eine Zunahme oder Erhöhung im Vergleich zum ursprünglichen Wert. Ein prozentualer Abfall bezieht sich auf eine Abnahme oder Verringerung im Vergleich zum ursprünglichen Wert.
Der Grundwert ist der Wert, auf den sich die prozentuale Änderung bezieht. Es ist die ursprüngliche Zahl, bevor eine prozentuale Erhöhung oder Verringerung angewendet wird.
Der Prozentsatz der Änderung kann gefunden werden, indem man den Unterschied zwischen den beiden Zahlen nimmt, diesen Wert durch den ursprünglichen Wert teilt und das Ergebnis mit 100 multipliziert: \( \frac{\text{neuer Wert} – \text{alter Wert}}{\text{alter Wert}} \times 100\% \)
Um einen Bruch in einen Prozentsatz umzuwandeln, teilt man den Zähler durch den Nenner und multipliziert das Ergebnis mit 100: \( \frac{Zähler}{Nenner} \times 100\% \)